Prakitsche Anwendung der Ableitung – Teil 2

Wenn man mit dem Thema "Bestimmung der Ableitung von Funktionen" anfängt, kommt immer die Frage vor "Aber wozu braucht man überhaupt die Ableitung?"

Es gibt viele Anwendungsprobleme für die Ableitung einer Funktion. In diesem Artikel habe ich typische Probleme/Fragestellungen ausgewählt. Der Artikel ist in vier Teile strukturiert, die jeweils eine kurze Erklärung mit Bespiel und Links zu weiteren Fragen + Lösungen enthalten.

 

Inhaltsübersicht

Teil 1: Steigung, Steigungswinkel, Tangente und Normale

Teil 2: Hoch-, Tief-, Wendepunkte und Wendetangenten einer Funktion

Teil 3: Schneidung bzw. Berührung zweier Funktionen

Teil 4: Extremwertprobleme

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Teil 2: Hoch-, Tief-, Wendepunkte und Wendetangenten einer Funktion

A. Wiederholung der Begriffe

Extremstellen

Bei einer Extremstelle x_E hat die 1. Ableitung f' eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

• Ist der Vorzeichenwechsel von + nach -, so ist x_E eine Maximalstelle.
• Ist der Vorzeichenwechsel von - nach +, so ist x­_E eine Minimalstelle.

 Der Punkt E (x_E | f(x_E)) heißt ein Extrempunkt oder genauer Hochpunkt bzw. Tiefpunkt.

·   Der Graph der Funktion f steight vor x_E und fällt danach.

      ·    Bei x_E ist die Ableitung f' gleich null und das Vorzeichen von f'        wechselt von + nach -

      ·    Also, x_E = 0 ist eine Maximalstelle.

  

    ·    Der Graph der Funktion f fällt vor x_E und steigt danach.

   ·    Bei x_E ist die Ableitung f' gleich null und das Vorzeichen von f'   wechselt von – nach +

   ·    Also, x_E = 0 ist eine Minimalstelle.

Berechnung von Extremstellen

Notwendige Bedingung:

f'(x_E) = 0

Hinreichende Bedingung:

f''(x_E) > 0 => Minimum (Tiefpunkt)

f''(x_E) < 0 => Maximum (Hochpunkt)

f''(x_E) = 0 => Bei x_E liegt KEIN Extremum vor!

Lokale/Globale Extrema

Ein lokales Maximum liegt bei x_E vor, wenn es für alle x innerhalb der Umgebung U(x_E) gilt: 

f(x_E) ≥ f(x).

Gilt diese Bedingung für alle x im gesamten Definitionsbereich, so spricht man von einem globalen Maximum.

Ein lokales Minimum liegt bei x_E vor, wenn es für alle x innerhalb der Umgebung U(x_E) gilt:

f(x_E) ≤ f(x).

Gilt diese Bedingung für alle x im gesamten Definitionsbereich, so spricht man von einem globalen Minimum.

Wendestelle

Bei einer Wendestelle x_W ändert der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten. Der Graph übergeht von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt.

Der Punkt W(x_W | f(x_W)) heißt ein Wendepunkt.

Berechnung von einer Wendestelle

Notwendige Bedingung:

f''(x_W) = 0

Hinreichende Bedingung:

f'''(x_W) ≠ 0

Sattelpunkt oder Terrassenpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Sonderfall vom Wendepunkt, und zwar durch einen Sattelpunkt verläuft die Tangente an den Graphen der Funktion waagerecht.

Für die Berechnung des Sattelpunktes gilt:

f'(x_S) = 0     => Waagerechte Tangente

f''(x_S) = 0    => Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt

f'''(x_S) ≠ 0  => Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt

Wendetangente

Die Tangente in einem Wendepunkt nennt man Wendetangente. Diese ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion an einem Wendepunkt W berührt. Dabei ist die Steigung der Tangente gleich die Steigung der Funktion an diesem Berührungspunkt. 

(Siehe Aufgaben zu Tangenten in Teil 1 dieses Artikels)

Wiederholung der Ableitungsregeln

Wenn Sie bei den Aufgaben die Ableitungsregeln nachschlagen möchten, können Sie diese im Artikel "Zusammenfassung und Beispiele zu den Differentiationsregeln (Ableitungsregel)" finden. 

B. Beispiel

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x³ – 1,5x² – 3x + 4, x ∈ ℝ

Ermittle die Extrempunkte und weise die Art der Extrema nach.

Bestimme die Wendepunkte und gib die Gleichung der Wendetangenten.

Lösungsschritte:

geg.:    f(x) = 0,5x³ – 1,5x² – 3x + 4, x ∈ ℝ

ges.:    1. Extrempunkte

2. Wendepunkte

3. Gleichung der Wendetangenten

Lösung:

Ableitungen:

f'(x) = 1,5x² – 3x – 3

f''(x) = 3x – 3

f'''(x) = 3

Extrempunkte:

f'(x) = 0

1,5x² – 3x – 3 = 0         | : 1,5

      x² – 2x – 2 = 0         | pq-Formel benutzen

x_E1/2 = 1  ± √ 1 + 2 

x_E1 = 2,732                   x_E2 = – 0,732

 

f''(x_E1) = 3 × (2,732) – 3 = 5, 196           > 0 => Tiefpunkt

f''(x_E2) = 3 × (– 0,732) – 3 = – 5, 196     < 0 => Hochpunkt

 

f(x_E1) = 0,5 (2,732)³ – 1,5(2,732)² – 3(2,732) + 4 = – 5,196

Koordinaten vom Tiefpunkt: T ( 2,732 | – 5,196 )

 

f(x_E2) = 0,5 (– 0,732)³ – 1,5(– 0,732)² – 3(– 0,732) + 4 = 5,196

Koordinaten vom Hochpunkt: H ( – 0,732 | 5,196 )

 

Wendepunkte:

f''(x) = 0

3x – 3 = 0

x_W1 = 1

 

f'''(x_W1) = 3          ≠ 0 => Wendepunkt

f(x_W1) = 0,5 (1)³ – 1,5(1)² – 3(1) + 4 = 0

Koordinaten vom Wendepunkt: W ( 1 | 0 )

 

Gleichung der Wendetangente:

m_t = f'(1) = 1,5(1)² – 3(1) – 3 = -4,5

y_t = m_t (x – x_W) + y_W     | Punktsteigungsform der Geradengleichung

y_t = – 4,5 ( x – 1 ) + 0

y_t = – 4,5x + 4,5

C. Weitere Aufgaben

Ich hoffe, Sie haben diesen Artikel hilfreich gefunden!

Für weitere Übungen können Sie mein Aufgabenpaket kostenlos herunterladen. Es enthält unterschiedliche Fragestellungen zum Thema " Hoch-, Tief-, Wendepunkte und Wendetangenten".

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