Für die Integralrechnung ist das Ermitteln von Stammfunktionen von vergleichbarer Bedeutung wie das Ermitteln von Ableitungen in der Differentialrechnung.
In einer früheren Artikelserie haben wir unterschiedliche Anwendungsprobleme für die Ableitung einer Funktion untersucht. Entsprechend starten wir heute eine neue Artikelserie, die in 5 Teilen das Thema "Prakitsche Anwendung der Integration" behandelt.
Jeder Artikel enthält jeweils eine kurze Erklärung/Wiederholung mit Bespiel und anschließend Links zu weiteren Aufgaben mit ausführlichen Lösungen.
Freu mich schon auf Eure Fragen und Kommentare!
Inhalstübersicht
Teil 1: Integralwert vs FlächenwertTeil 2: Berechnung von Flächeninhalten
Teil 3: Integration und Extremwertprobleme (kommt bald!)
Teil 4: Integration im Sachzusammenhang (kommt bald!)
Teil 5: Berechnung von Rauminhalten (kommt bald!)
Teil 1: Integralwert vs Flächenwert
A. Geometrische Bedeutung vom Integralwert
Der Integralwert beschreibt den Flächeninhalt, den der Graph einer Funktion mit der x-Achse einschließt:
- Der Betrag vom Integralwert gibt an, wie groß die Fläche ist.
- Das Vorzeichen vom Integral gibt an, ob diese Fläche oberhalb (positiv) oder unterhalb (negativ) der x-Achse liegt.
Wenn man einen Flächeninhalt/Flächenwert berechnen möchte, sollte man folgendes beachten:
- Flächeninhalte sind IMMER positiv.
- Man sollte daher nur den Betrag vom Integralwert berücksichtigen.
Wenn der Graph einer Funktion im angegebenen Intervall teils unterhalb und teils oberhalb der x-Achse verläuft, dann sollte man wie folgt vorgehen.
- Integralwert:
- Die positiven und negativen Flächen heben sich auf. Der Integralwert gibt nur noch den Unterschied bzw. die Flächenbilanz an.
- Der Integralwert ist positiv, wenn die gesamte Fläche oberhalb der x-Achse größer ist als die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse.
- Der Integralwert ist negativ, wenn die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse größer ist als die gesamte Fläche oberhalb der x-Achse.
- Der Integralwert ist Null, wenn die gesamte Fläche oberhalb der x-Achse und die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse gleich groß sind.
- Flächenwert:
- Die positiven und negativen Flächen müssen getrennt voneinander berechnet werden.
- Der Flächenwert ist dann die Summe der Beträge aller Teilflächen.
B. Graphisches Beispiel
Die Skizze zeigt die Flächen, die der Graph einer Funktion im Intervall [a ; c] mit der x-Achse einschließt. Der Integralwert von den unterschiedlichen Teilflächen ist in der Skizze gegeben.
Ermitteln Sie anhand der Skizze den Integralwert und den Flächenwert für die Intervalle [a ; b], [b ; c] und [a ; c].
Lösung:
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Intervall |
Integralwert |
Flächenwert |
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[a ; b] |
5 |
5 FE |
|
[b ; c] |
– 8 |
|– 8| = 8 FE |
|
[a ; c] |
5 – 8 = – 3 |
5 + |– 8| = 13 FE |
C. Rechnerisches Beispiel
Gegeben ist die Funktion f(x) = x2 – 6x + 8.
Berechnen Sie den Integralwert und den Flächenwert, welche der Graph von f über dem Intervall [1 ; 5] mit der x-Achse
einschließt.
Lösung:
1. Integralwert:
2. Flächenwert:
Schritt 1: Skizze
Schritt 2: Nullstellen bestimmen
Schritt 3: Flächenberechnung
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D. Weitere Aufgaben
Ich hoff, Sie haben diesen Artikel hilfreich gefunden!
Wie man unterschiedliche Flächen (z.B. Flächen zwischen 2 Kurven) mit Hilfe vom Integral berechnen kann, lesen Sie im nächsten Beitrag der Artikelserie "Prakitsche Anwendung der Integration".
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