Prakitsche Anwendung der Ableitung – Teil 3

Wenn man mit dem Thema "Bestimmung der Ableitung von Funktionen" anfängt, kommt immer die Frage vor "Aber wozu braucht man überhaupt die Ableitung?"

Es gibt viele Anwendungsprobleme für die Ableitung einer Funktion. In diesem Artikel habe ich typische Probleme/Fragestellungen ausgewählt. Der Artikel ist in vier Teile strukturiert, die jeweils eine kurze Erklärung mit Bespiel und Links zu weiteren Fragen + Lösungen enthalten.

 

Inhaltsübersicht

Teil 1: Steigung, Steigungswinkel, Tangente und Normale

Teil 2: Hoch-, Tief-, Wendepunkte und Wendetangenten einer Funktion

Teil 3: Schneidung bzw. Berührung zweier Funktionen

Teil 4: Extremwertprobleme

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Teil 3: Schneidung bzw. Berührung zweiner Funktion

A. Wiederholung der Begriffe

Schnittwinkel von zwei Funktionen

Für die Berechnung vom Schnittwinkel γ zweier Funktionen f und g an der Schnittstelle x_S gilt:

Steigungswinkel α von f bei x_s sei: α = tan^-1 (f'(x_s))

Steigungswinkel β von g bei x_s sei: β = tan^-1 (g'(x_s))

Schnittwinkel γ sei der kleinere der beiden Werte:

| α – β | und 180 – | α – β |

Berührung von zwei Funktionen

Zwei Funktionen f und g berühren sich an der Stelle x_B, wenn gilt:

f(x_B)  = g(x_B)

f'(x_B) = g'(x_B)

Wiederholung der Ableitungsregeln

Wenn Sie bei den Aufgaben die Ableitungsregeln nachschlagen möchten, können Sie diese im Artikel Zusammenfassung und Beispiele zu den Differentiationsregeln (Ableitungsregel) finden.

B. Beispiel

Gegeben sind die Funktionen f(x) = ax2 + b und g(x) =

1 x2

Bestimme a und b, so dass die Graphen von f und g sich an der Stelle x = 1 berühren. Gib die Gleichung der Berührtangente an.

Lösungsschritte:

geg.:      f(x) = ax² + b

g(x) =

1 x2

               Berührung sei bei x = 1

ges.:    1. Werte von a und b, so dass f und g sich an x = 1 berühren

2. Gleichung der Berührtangente

Lösung:

Ableitungen bilden:

f'(x) = 2ax

g'(x) =

-2 x3

Gleichungssystem mit Hilfe der Berührbedingungen aufstellen:

f(1) = g(1)            => a + b = 1         (Formel I)

f'(1) = g'(1)          => 2a = – 2           (Formel II)

 

Gleichungssystem lösen:

• Aus Formel II ergibt sich a = - 1
• Wert von a in Formel I einsetzen, dann ergibt sich b = 2
• f(x) = – x² + 2

 

Gleichung der Berührtangente (y_t = mx + n):

• m = f'(1) = – 2(1) = – 2
• Der Berührungspunkt B hat die Koordinaten ( 1 | f(1) ), also B ( 1 | 1)
• B und m in der Gleichung einsetzen, um n zu bestimmen: 1 = – 2 (1) + n  => n = 3
• Gleichung der Berührtangente lautet: y_t = –2x + 3

C. Weitere Aufgaben

Ich hoffe, Sie haben diesen Artikel hilfreich gefunden!

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