Bei der Rekonstruktion von Funktionen (auch "Steckbriefaufgaben" genannt) sucht man eine Funktionsgleichung mit Hilfe von gegebenen Eigenschaften des Graphen dieser Funktion (z.B. Punkte, Nullstellen, Extrema, Steigung ... usw.).
In diesem Artikel finden Sie...
- Vorgehensweise für die Bearbeitung von Steckbriefaufgaben
- Referenztabelle: Zuordnung von den Eigenschaften eines Graphen zu den entsprechenden mathematischen Bedingungen
- Beispiel mit ausführlicher Lösung
- Links zu weiteren Übungsaufgaben
A. Vorgehensweise
1. Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben:
In diesem Schritt sollte man aus dem Text herauslesen um welche Funktionsart es sich handelt, z.B. eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Funktionsgleichung f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Eine Aussage über die Symmetrie der Funktion würde die allgemeine Funktionsgleichung weiterhin verfeinern, z.B. eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung sei, hat die Funktionsgleichung f(x) = ax3 + bx.
Manchmal ist die allgemeine Funktionsgleichung explizit bei der Aufgabestellung gegeben, z.B. f(x) = a ⋅ ebx + c. In diesem Fall sollte man einfach zum nächsten Schritt springen!
2. Funktionsbedingungen sammeln:
In diesem Schritt wandelt man die Eigenschaften des Graphen in mathematischen Bedingungen um.
Hinweise:
- Anzahl der Bedingungen = Anzahl der Parameter in der allgemeinen Funktionsgleichung
- Sie finden im nächsten Abschnitt eine Tabelle, die die häufig benutzten Ausdrücke bei den Aufgaben mathematischen Bedingungen zuordnet.
3. Ableitungen vorbereiten:
Aus den vorliegenden Bedingungen kann man erkennen welche Ableitungen der allgemeinen Funktionsgleichung man braucht. Diese sollte man jetzt ermitteln.
4. Gleichungssystem aufstellen und lösen:
In diesem Schritt setzt man die im zweiten Schritt gesammelten Bedingungen in der allgemeinen Funktionsgleichung und den Ableitungsfunktionen ein.
Das aufgestellte Gleichungssystem sollte man jetzt lösen, um die Werte der Parameter bei der allgemeinen Funktionsgleichung zu bestimmen.
5. Ergebnis: Gesuchte Funktionsgleichung aufschreiben!
Jetzt setzt man die berechneten Werte der Parameter in der allgemeinen Funktionsgleichung ein und bekommt die gesuchte Funktionsgleichung.
B. Eigenschaften des Graphen → mathematische Bedingungen
In der folgenden Tabelle finden Sie in der linken Spalte die häufig benutzten Ausdrücke, mit denen man bei den Aufgaben die Eigenschaften eines Graphen beschreibt. Und in der rechten Spalte sehen Sie, wie diese Ausdrücke jeweils auf mathematische Bedingungen abgebildet werden können.
|
Der Graph der
Funktion f… |
Bedingungen |
|
… geht durch den
Ursprung. |
f(0) = 0 |
|
… verläuft durch
den Punkt P (3|8). |
f(3) = 8 |
|
… schneidet die
y-Achse bei y = 15. |
f(0) = 15 |
|
… schneidet die
x-Achse bei x = 4. … hat bei x = 4
eine Nullstelle. |
f(4) = 0 |
|
… berührt die
x-Achse bei x = 4. |
f(4) = 0 f'(4) = 0 |
|
… hat einen
Extrempunkt an der Stelle x = 8. |
f'(8) = 0 |
|
… hat einen
Extrempunkt auf der y-Achse. |
f'(0) = 0 |
|
… hat einen
Extrempunkt bei P(8|6). |
f(8) = 6 f'(8) = 0 |
|
… hat bei x = 4 eine
Tangente, die parallel zur Gerade g: y = 2x + 6 verläuft. |
f'(4) = 2 |
|
… hat bei x = 4 eine
Tangente mit der Gleichung g: y = 2x + 6. … berührt bei x =
4 die Gerade g(x) = 2x + 6. |
f(4) = g(4) = 14 f'(4) = 2 |
|
… hat bei x = 5
dieselbe Steigung wie g(x) = x3 + 6. |
f'(5) = g'(5) =
75 ( g'(x) = 3x2
) |
|
… berührt bei x = 5
den Graphen der Funktion g(x) = x3 + 6. |
f(5) = g(5) = 131 f'(5) = g'(5) = 75 ( g'(x) = 3x2 ) |
|
… schneidet bei x
= 4 die Gerade g(x) = 2x + 6 senkrecht. |
f(4) = g(4) = 14 f'(4) = – 0,5 |
|
… hat bei x = – 3
einen Wendepunkt. |
f''(– 3) = 0 |
|
… hat bei x = 8
einen Sattelpunkt. |
f'(8) = 0 f''(8) = 0 |
|
… hat an der
Stelle x = 3 eine Wendetangente mit der Steigung 5. |
f'(3) = 5 f''(3) = 0 |
|
… hat im Ursprung
die 2. Winkelhalbierende als Wendetangente. |
f(0) = 0 f'(0) = – 1 (Steigung der 2. WH) f''(0) = 0 |
|
… ist symmetrisch
zur y-Achse. |
NUR gerade Exponenten |
|
… ist
punktsymmetrisch zum Ursprung. |
NUR ungerade Exponenten |
C. Beispiel
D. Weitere Aufgaben
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