Prakitsche Anwendung der Integration – Teil 2: Berechnung von Flächeninhalten

Dieser Artikel ist Teil der Serie "Prakitsche Anwendung der Integration". In Teil 1 haben wir den Unterschied zwischen Integralwert und Flächenwert geklärt. Heute geht es um die Berechnung von unterschiedlichen Flächen mit Hilfe vom Integral.

Jeder Artikel enthält jeweils eine kurze Erklärung/Wiederholung mit Bespiel und anschließend Links zu weiteren Aufgaben mit ausführlichen Lösungen.

Inhalstübersicht

Teil 1: Integralwert vs Flächenwert
Teil 2: Berechnung von Flächeninhalten
Teil 3: Integration und Extremwertprobleme (kommt bald!)
Teil 4: Integration im Sachzusammenhang (kommt bald!)
Teil 5: Berechnung von Rauminhalten (kommt bald!)

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Teil 2: Berechnung von Flächeninhalten

A. Zusammenfassung der Regeln

Flächen oberhalb der x-Achse:

Flächen unterhalb der x-Achse:

Flächen teils oberhalb, teils unterhalb der x-Achse:

Flächen zwischen zwei Kurven:

Flächen zwischen zwei sich schneidenden Kurven:

B. Beispiel

Berechnen Sie die Fläche, die im 1. Quadranten von den Graphen der Funktionen f, g und k begrenzt wird.

f(x) = 4x²      g(x) = 

1

4

 x²      k(x) = 

4

x²

Lösung:

Schritt 1: Skizze

Schritt 2: Schnittstellen bestimmen

Schnittstelle x_S1 von den Graphen f und g:

4 x² = 

1

4

 x²      | -  

1

4

 x²

15

4

 x² = 0

x_S1 = 0

Schnittstelle x_S2 von den Graphen f und k:

4 x² = 

4

x²

     | ⋅ x² : 4

x⁴ = 1

x_S2 = 1    ( x_S2 = –1 liegt nicht im 1. Quadranten => ist also nicht relevant! )

Schnittstelle x_S3 von den Graphen g und k:

1

4

 x² = 

4

x²

     | ⋅ x² ⋅ 4

x⁴ = 16

x_S3 = 2    ( x_S3 = –2 liegt nicht im 1. Quadranten => ist also nicht relevant! )

Schritt 3: Flächenberechnung

C. Weitere Aufgaben

Ich hoff, Sie haben diesen Artikel hilfreich gefunden!

Wenn Sie das Gefühl haben, ja, jetzt kann ich unterschiedliche Flächen mit Hilfe vom Integral berechnen, dann untersuchen wir als nächstes Probleme, wo man einen Parameter ändern sollte, damit eine Fläche extremal wird. Wie diese Extremwertaufgaben aussehen könnten, lesen Sie im nächsten Beitrag der Artikelserie "Prakitsche Anwendung der Integration".
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