Prakitsche Anwendung der Ableitung – Teil 4

Wenn man mit dem Thema "Bestimmung der Ableitung von Funktionen" anfängt, kommt immer die Frage vor "Aber wozu braucht man überhaupt die Ableitung?"

Es gibt viele Anwendungsprobleme für die Ableitung einer Funktion. In diesem Artikel habe ich typische Probleme/Fragestellungen ausgewählt. Der Artikel ist in vier Teile strukturiert, die jeweils eine kurze Erklärung mit Bespiel und Links zu weiteren Fragen + Lösungen enthalten.

 

Inhaltsübersicht

Teil 1: Steigung, Steigungswinkel, Tangente und Normale

Teil 2: Hoch-, Tief-, Wendepunkte und Wendetangenten einer Funktion

Teil 3: Schneidung bzw. Berührung zweier Funktionen

Teil 4: Extremwertprobleme

---

Teil 4: Extremwertprobleme

A. Wiederholung

Extremwertprobleme - wie der Name es schon sagt - sind Probleme, wo nach den größten und kleinsten Werten (Extremwerten) gefragt ist.

Wir haben soweit wiederholt Extremwerte bestimmt von Funktionen, die dabei immer vorgegeben waren. Bei Extremwertproblemen ist das nicht der Fall!

Hier wird ein Problem beschrieben und man sollte mit Hilfe der Hinweise im Text die sogenannte Zielfunktion erst ermitteln. Danach kann man wie gewohnt die Extremwerte berechnen.

Strategie für das Lösen von Extremwertproblemen:

1. Welche Größe soll extremal werden?

Ich würde empfehlen hier immer mit einer Skizze anzufangen. Oder eine gegebene Skizze so weit wie möglich zu ergänzen.

Dann sollte man die Gleichung für die Größe, die extremal werden soll, aufstellen. Diese Gleichung nennt man die Hauptbedingung.

 

2. Einführen einer einzigen Variablen

In diesem Schritt sollte man die mehreren Variablen in der Hauptbedingung eliminieren.

Mit Hilfe der Skizze und dem Text werden Gleichungen für die verschiedenen Variablen der Hauptbedingungen gesucht, die alle von einer Variablen abhängig sind. Diese Gleichungen nennt man Nebenbedingungen.

 

3. Zielfunktion bestimmen

Die Nebenbedingungen in der Hauptbedingung einsetzen, damit man eine Funktion bekommt, die nur von einer Variablen abhängig ist. Diese Funktion nennt man die Zielfunktion.

In diesem Schritt ist es auch sinnvoll den Definitionsbereich von der Zielfunktion explizit aufzuschreiben.

 

4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen.

 

5. Ergebnis für die ursprüngliche Frage formulieren. Beachte die Maßeinheiten!

B. Beispiel

Von einem rechteckigen, 10 cm langen und 5 cm breiten Stück Pappe werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest soll eine oben offene Schachtel mit möglichst großem Rauminhalt hergestellt werden.

Wie sind Länge, Breite und Höhe der Schachtel zu wählen?

 

Lösungsschritte:

1. Der Rauminhalt R der Schachtel soll maximal sein.

R = l × b × h           (Hauptbedingung)

 

2. Nebenbedingungen aus der Skizze extrahieren:

l = 10 – 2x            b = 5 – 2x             h = x

 

3. Zielfunktion bestimmen:

Nebenbedingungen in der Hauptbedingung einsetzen:

R(x) = (10 – 2x) × (5 – 2x) × x          | Ausmultiplizieren und zusammenfassen

R(x) = 4x³ – 30x² + 50x                    mit D_R = ]0; 2,5[                          (Zielfunktion)

Bemerkung: Der Definitionsbereich hängt von der kleineren Seitenlänge des Rechtecks ab, nämlich 5 cm.

 

4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen:

Ableitungen bilden:

R'(x) = 12x² – 60x + 50

R''(x) = 24x – 60

Notwendige Bedingung (R'(x) = 0):

12x² – 60x + 50 = 0           | : 12

x2 – 5x +

50 12

= 0               | pq-Formel benutzen

x1 =

5 2

+

5 6

√ 3  ≈ 3,943; x1 ∉ DR

x2 =

5 2

-

5 6

√ 3  ≈ 1,0566

Hinreichende Bedingung (R''(x₂) ≠ 0):

R''(1,0566) ≈ – 34,64  < 0              => Maximum!

 

Maximalwert bestimmen:

R(1,0566) = 4 × (1,0566)³ – 30 × (1,0566)² + 50 × (1,0566) ≈ 24,0563

 

Verhalten an den Randstellen untersuchen:

R(0) = R(2,5) = 0
Da R(1,0566) > 0, ist dies ein globales Maximum auf dem Definitionsbereich.

 

5. Ergebnis:

Bei einer Länge von 7,8868 cm, Breite von 2,8868 cm und Höhe von 1,0566 cm hat die Schachtel den maximalen Rauminhalt. Dieser beträgt 24,0563 cm³.

  

C. Weitere Aufgaben

Ich hoffe, Sie haben diesen Artikel hilfreich gefunden!

Für weitere Übungen können Sie mein Aufgabenpaket kostenlos herunterladen. Es enthält unterschiedliche Fragestellungen zum Thema "Extremwertprobleme".

Außerdem können Sie alle Aufgabenpakete zum Thema Ableitung in unserem Store kostenlos herunterladen.

Verpassen Sie keine zukünftigen Beiträge, indem Sie uns folgen.

Ihre Fragen bzw. Kommentare sind immer willkommen!