Ereignisse bei Zufallsexperimenten – Teil 1 (Mengenlehre)

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung arbeitet man mit Mengen und Ergebnissen und Ereignissen. Damit man die unterschiedlichen Fachbegriffe versteht und richtig benutzt, wird dieser Artikel in zwei Teile strukturiert. Zuerst werden die Begriffe der Mengenlehre kurz wiederholt und danach übertragen wir das Ganze auf die Ergebnisse und Ereignisse von Zufallsexperimenten.

Inhalstübersicht

Teil 1: Mengenlehre in a nutshell
Teil 2: Ergebnisse und Ereignisse (kommt bald!)

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Teil 1: Mengenlehre in a nutshell

A. Elemente einer Menge

• Die Elemente einer Menge sind alle Objekte (z.B. Zahlen), die zu dieser Menge gehören.
• Schreibweise:
• Mengen werden meistens mit Großbuchstaben dargestellt.
• Die einzelnen Elemente der Menge werden zwischen geschweiften Klammern gesetzt und durch Kommas oder Semikolons getrennt. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.
• Diese Art nennt man die "Aufzählende Mengenschreibweise".
• Mengendiagramme:
• Diese dienen der graphischen Veranschaulichung von Mengen.
• Eine Menge wird als Kreis dargestellt.
• Alle Elemente der Menge werden innerhalb des Kreises geschrieben.
• Die Anzahl der Elemente einer Menge A wird als Mächtigkeit |A| bezeichnet.

Beispiel:
A sei die Menge aller Primzahlen kleiner als 15.

So schreibt man die Menge A:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

Wenn ein Element zur Menge A gehört, wird das so geschrieben:
2 ∈ A    (lies: 2 ist ein Element von A)

Wenn ein Element nicht zur Menge A gehört, wird das so geschrieben:
10 ∉ A    (lies: 10 ist kein Element von A)

Die Mächtigkeit von A sei:
|A| = 6

So wird die Menge A als Mengendiagramm dargestellt:

B. Beziehungen und Verknüpfungen von Mengen

Diagramm	Schreibweise	Erklärung
	A = B	A ist gleich B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind und umgekehrt.
	B ⊂ A	B ist eine Teilmenge von A, wenn jedes Element von B auch in Menge A vorkommt.
	A ∩ B	lies: A geschnitten B bedeutet: UND Die Schnittmenge von A und B enthält alle Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
	A ∪ B	lies: A vereinigt B bedeutet: ODER Die Vereinigungsmenge von A und B enthält alle Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören.
	A \ B	lies: A ohne B bedeutet: OHNE Die Differenzmenge von A ohne B enthält alle Elemente von A, die aber nicht in B vorkommen.
	(A ∩ B̅) ∪ (A̅ ∩ B)	bedeutet: ENTWEDER A ODER B Die symmetrische Differenzmenge von A und B umfasst jene Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.
	A̅	lies: A quer bedeutet: NICHT Die Komplementmenge von A bezüglich einer Grundmenge G enthält alle Elemente aus G, die nicht in Menge A enthalten sind.

C. Sonderfälle

• Lehre Menge:
• Das ist eine Menge, die keine Elemente enthält.
• Schreibweise: { } ODER ∅

• Disjunkte Mengen:
• Diese sind Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben.
• Schreibweise: A ∩ B = ∅
• Im Mengendiagram zeichnet man zwei Kreise, die sich nicht überschneiden.

D. Regeln von DE Morgen

Gesetz	Erklärung
	bedeutet: WEDER A NOCH B Die resultierende Komplementmenge enthält alle Elemente aus der Grundmenge G, die weder in A noch in B enthalten sind.
	bedeutet: NICHT BEIDE Die resultierende Komplementmenge enthält alle Elemente aus der Grundmenge G, die nicht gleichzeitig in A und B enthalten sind.

E. Beispiel

Gegeben sind eine Grundmenge G und vier Teilmengen A, B, C und D.

G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
A = {1, 2, 10, 14}
B = {3, 8, 9}
C = {1, 2, 5, 6, 7}
D = {1, 6, 12, 15}

1. Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

2. Stellen Sie die Mengen A, B, C, D und G in einem Mengendiagramm dar.

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Lösung:

Zu Aufgabe 1:

Hinweis:In diesem Artikel wird nur ein Teil dieser Aufgabe gelöst. Die komplette ausführliche Lösung können Sie in diesem Aufgabenpaket kostenlos herunterladen.

Zu Aufgabe 2:

F. Weitere Aufgaben

Ich hoffe, Sie haben diesen Artikel hilfreich gefunden!

Im nächsten Beitrag dieser Artikelserie lernen wir, wie man unser Wissen über die Mengenlehre anwenden kann, damit man die Ergebnisse und Ereignisse bei Zufallsexperimenten versteht, als Mengen erfasst und damit Wahrscheinlichkeitsfragen beantworten könnte.

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