Mit dem Gaußschen Algorithmus (auch "Gauß-Verfahren" genannt) kann man beliebig große lineare Gleichungssysteme (abgekürzt "LGS") lösen.
Der Gauß-Verfahren ist ziemlich einfach anzuwenden. Er beruht auf dem Additionsverfahren und lässt das LGS schrittweise und systematisch umformen, bis das System entweder eine Dreiecksgestalt oder eine Trapezgestalt erreicht.
Bei der Dreiecksgestalt hat das LGS genau eine Lösung.
Bei der Trapezgestalt hat das LGS entweder:
- keine Lösung, wenn beim Umformen der Gleichungen eine falsche Aussage (bzw. Widerspruchszeile) entsteht. (z.B. 0 = 4).
- unendlich viele Lösungen, wenn beim Umformen der Gleichungen eine unabhängig von den Variablen stets wahre Aussage (bzw. Nullzeile) entsteht (z.B. 0 = 0).
A. Der Algorithmus im Überblick
1.Ausgangsform (bzw. Normalform)
Das LGS in eine Ausgangsform bringen, wo die Variablen in den Gleichungen untereinander stehen und die Absolutglieder auf den rechten Seiten der entsprechenden Gleichungen stehen. Diese Darstellung wird auch Normalform genannt.
2. Erzeugen von Nullen in der 1. Spalte mit Hilfe der 1. Zeile
- Die 1. Gleichung bleibt unverändert.
- Mit Hilfe der 1. Gleichung sollen die Koeffizienten in der 1. Spalte für alle Gleichungen, die darunter stehen, durch Äquivalenzumformungen eliminiert.
3. Erzeugen von Nullen in der 2. Spalte mit Hilfe der 2. Zeile
- Gleichungen 1 und 2 bleiben unverändert.
- Mit Hilfe der 2. Gleichung sollen die Koeffizienten in der 2. Spalte für alle Gleichungen, die darunter stehen, durch Äquivalenzumformungen eliminiert.
4. Wiederholung vom Erzeugen von Nullen in der n. Spalte mit Hilfe der n. Zeile bis das System entweder die Dreieckgestalt oder die Trapezgestalt erreicht.
5. Lösung ermitteln (Fallunterscheidung)
- Fall I: Dreiecksgestalt (LGS hat genau eine Lösung)
i. Aus der Dreieckgestalt wird das System SEHR einfach rückwärts gelöst!
ii. Die letzte Zeile des LGS hat jetzt NUR eine Variable. Diese kann man einfach bestimmen.
iii. Jetzt sollte man rückwärts die Werte für alle Variablen ermitteln.
- Fall II: Trapezgestalt (LGS hat ENTWEDER keine Lösung ODER unendlich viele Lösungen)
i. Beim Umformen der Gleichungen ist eine falsche Aussage entstanden (z.B. 0 = 4) => keine Lösung
ii. Beim Umformen der Gleichungen ist eine unabhängig von den Variablen stets wahre Aussage entstanden (z.B. 0 = 0). Jetzt ist Anzahl der Gleichungen im System < Anzahl der Variablen. => unendlich viele Lösungen
B. Beispiel
C. Weitere Aufgaben
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